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高中数学:函数和导数题型你会做吗?


时间:2020-04-11   点击:

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  今天我们一起来看一道函数与导数的题,题目如下:

  这同样是 2019 年北京高考数学的一道真题,题目比较简单,我们一起来做一下:

  第一小问让我们求函数斜率为 1 的切线方程,直接对函数求导,令导数为 1 就可以了,过程如下:

  我们解出 x=0 和 x=8/3 两个解,说明曲线有两个斜率为 1 的切线方程(如果不重合的话),我们将这两点的纵坐标求一下,然后切线方程就能直接写出来了:

  第二小题让我们证明函数在区间 [-2,4] 上介于函数 x-6 和函数 x 之间,这两个函数都很简单,而且题目更简化了,他们之间就差一个常数 6 ,我们直接令 g(x)=f(x) - x ,然后只需要求出 g(x) 在区间 [-2,4] 的取值范围就可以了,过程如下:

  其实,这个极值点在第一问就已经解出来了,这道题就属于罕见的良心题。其实大多数高考题也就这个难度,不会太难为我们的。

  第三小题其实也简单,就是加了一个绝对值,绝对值里面的函数为 g(x) - a ; 我们先算出来 g(x) - a 最大值和最小值,然后取绝对值最大的那个就可以了。同样的,这个函数的单调区间前面已经算过了:

  接下来我们只需要比较 |-a| 和 |-6 - a| 的大小,大的就是 F(x) 的最大值 M(a) ,然后求 M(a) 关于 a 的最小值:

  这样,我们算出了 M(a) 的最小值 3 ,此时 a=-3。如果觉得我们这么讨论不太直观的话,我们可以直接将 |-a| 和 |-6 - a| 这两个函数用图像表示出来,结果更是一目了然:

  两条折线位于上方的部分就是我们要求的 M(a) ,M(a) 的最低点就是我们要求的最小值,此时

  |a|=- a=|-6 - a|=6 + a

  所以 a=-3 时,M(a) 取得最小值,min(M(a))=3。

  小结

  这道题是一道高考真题,题目很简单,高考中大多数题都类似于这种,不会很复杂。只有一小部分是拔高题,如果高考不是奔着高分去的,那我们准确地作出这些题,然后将拔高题能拿的那点分数也拿到,最后分数也不会低。如果就是奔着高分去的,那么这种题更要又快又准地做出来,留出时间去做拔高题。

  虽然说这道题比较简单,但是如果思路不清晰的话,还是要费一番功夫的。这里简单总结一下:

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